Метод на Нютон

Нека уравнението

$$f(x) = 0$$ (2.7)

има единствен корен $\xi$ в интервала $[a,b]$ . Ще предполагаме, че функцията $f = f(x)$ е два пъти непрекъснато диференцируема в $[a,b]$ , т.е. $f \in {\boldsymbol C}^2[a,b]$ .

Нека $x_n \in [a, b]$ е $n$ -то приближение на корена на уравнението (2.7) (приближението $x_n$ може да бъде получено например по метода на бисекциите). Полагаме

$$h_n = \xi - x_n\,.$$ (2.8)

От теоремата на Тейлор, приложена за функцията $f(x)$ , следва

$$0 = f(\xi) = f(x_n + h_n) \approx f(x_n) + h_n f^{\prime}(x_n)\,.$$

Следователно

$$h_n \approx - \dfrac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}\,.$$

Заместваме в (2.8) и получаваме

$$\xi \approx x_n - \dfrac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}\,.$$ (2.9)

Методът на Нютон за приближаване на корена на уравнението (2.7) се базира на изложените по-горе разсъждения и следната теорема.

Теорема 2.4   Нека са изпълнени следните условия:
1. Функцията $f \in {\boldsymbol C}^2[a,b]$ и $f(a)f(b) < 0$ .
2. Производните $f^{\prime}(x)$ и $f^{\prime\prime}(x)$ не се анулират в $[a,b]$ .
3. Началното приближение $x_0$ е точка от $[a,b]$ , за която е валидно $f(x_0)f^{\prime\prime}(x_0) > 0$ .
4. Дефинирана е редицата от точки $\{x_n \}_{n=0}^ \infty$ съгласно формулата

$$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}\,,\\ n=0,1,\dots\,.$$ (2.10)

Тогава:
1. Уравнението (2.7) има единствен корен $\xi$ в интервала $[a,b]$ .
2. Редицата $\{x_n \}_{n=0}^ \infty$ е монотонна и сходяща към $\xi$ , т.е. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \xi$ .
3. Изпълнено е неравенството $\vert\xi - x_n\vert \leq \dfrac{M_2}{2m_1} (x_n-x_{n-1})^2$ , където $M_2 = \max\limits_{x\in [a,b]} \vert f^{\prime\prime} (x)\vert$ и $m_1 = \min\limits_{x\in [a,b]} \vert f^{\prime} (x)\vert$ .
4. Съществува естествено число $N$ такова, че $\vert\xi - x_n\vert \leq \vert x_n-x_{n-1}\vert$ за $n \ge N$ .

Забележка 2.1   От третото твърдение на теорема 2.4, не е трудно да се съобрази, че ако $\dfrac{M_2}{2m_1} \leq 1\\$и$\\ Vert\xi-x_n\vert < 10^{-m}\,,\\ m > 0$ , то $\vert\xi - x_{n+1}\vert < 10^{-2m}$ .

Пример 2.4   По метода на Нютон да се намери най-малкият положителен корен на уравнението

$$\tan x - x = 0\,,$$

с точност $10^{-4}$ .

Figure: $\tan x=x$

Решение. В интервала $\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)$ разглеждаме уравнението

$$f(x) = \sin x - x \cos x = 0 \, ,$$

което е еквивалентно на $\tan x - x = 0$ . Търсеният корен на уравнението принадлежи на интервала $\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)$ ,

Figure: $\sin x=x \cos x$

(виж фигури 2.3 и 2.4), тъй като $f\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{8}(5\pi-4)>0$ и $f \left (\dfrac{3\pi}{2} \right )=-1<0$ . Пресмятаме:

$$f^{\prime}(x) = x\sin x\,,$$

$$f^{\prime\prime} (x)= \sin x + x \cos x\,.$$

Следователно $f^{\prime}(x)<0$ и $f^{\prime\prime} (x)< 0$ при $x\in \left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)$ . От факта, че $f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) < 0$ , следва, че за начално приближение избираме $x_0 = \dfrac{3\pi}{2}\approx4.712389$ .

Тогава $x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f^{\prime}(x_0)} \approx 4.50018$ . За да пресметнем грешката, ще използуваме теорема 2.3:

$$\vert\xi - x_1\vert \leq \dfrac{\vert f(x_1)\vert}{m_1} = \dfrac{0.02974}{2.7768} = 0.01071\,,$$

където с $\xi$ сме означили корена и

$$m_1 = \min\limits_{x\in\left[\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\righ... ...}(x)\vert = \left \vert f\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right \vert = 2.7768\,.$$

Пресмятаме второто приближение $x_2$

$$x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f^{\prime}(x_1)} \approx 4.49342$$

и съответната грешка

$$\vert\xi - x_2\vert \leq \dfrac{\vert f(x_2)\vert}{m_1} = \dfrac{0.000046}{2.7768} = 0.000016\,.$$

Следователно, приближение на корена на разглежданото уравнение е $4.49342$ с точност $0.0001$ .

<<1195>>