Интерполационни полиноми на Лагранж и Нютон с разделени разлики

Дефиниция 5.2   Нека функцията $f$ е дефинирана и ограничена в интервала $[a,b]$ и са известни нейните функционни стойности в $n+1$ различни точки (възли) от този интервал. Алгабричният полином $L(x)$ се нарича интерполационен полином за функцията $f$ , построен по възлите $\{x_i\}_{i=0}^n$ , ако $L(x)$ е полином от степен по-малка или равна на $n$ и $L(x_i)=f(x_i)$ , $i=0 \div n$ .

Единственост на интерполационния полином се дава със следната теорема.

Теорема 5.2   Нека са изпълнени следните условия:
1. Дадени са $n+1$ различни точки в $[a,b]$ , като $a=x_0<x_1< \dots <x_n=b$ .
2. Известни са стойностите $y_i$ , $i=0 \div n$ , на функция $f(x)$ в тези точки.
3. $P(x)$ е полином най-много от степен $n \in {\mathbb{N}}$ , за който

$$P(x_i)=f(x_i)=y_i, \quad i=0 \div n$$

(виж фигура 5.2).
Тогава интерполационният полином $P(x)$ е единствен.

Figure: Интерполационен полином

<<4746>>