Квадратурни формули на Нютон-Котес

Нека $f$ е функция дефинирана и непрекъсната в интервала $[a,b]$ . Нека $n$ е естествено число. Полагаме:

$$h = \dfrac{b-a}{n}\,,\quad x_0 = a\,,\\ x_i = x_0 + i h\,, \\ i = 1 \div n-1\,, \quad x_n=b\,.$$

По-нататък ще казваме, че така избраните възли $x_i$ разбиват интервала $[a,b]$ на $n$ подинтервала $[x_i, x_{i+1}]$ с дължини равни на $h$ . Въвеждаме и следните означения:

$$y_i = f(x_i)\,,\\ i = 0 \div n\,.$$

Основната идея за числено пресмятане на определения интеграл е ``заместване на подинтегралната функцията $f$ с по-проста функция''. За такава ``по-проста'' функция, може да бъде избран интерполационния полином на Лагранж за функцията $f$ или някоя функция, която апроксимира $f$ в интервала $[a,b]$ .

Дефиниция 6.2   Нека $L_n$ е интерполационния полином на Лагранж за функцията $f$ по възлите $x_i$ (вж. Глава 5, формула (5.2)). Тогава за приближена стойност на интеграла

$$\int\limits_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx$$   може да се приеме числото $$\; \int\limits_{a}^{b} L_n(x)\,dx\,,$$

т.е.

$$\int\limits_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx = \int\limits_{a}^{b} L_n(x)\,dx... ...} \varphi_i(x) \, dx \right ) y_i +R_n= \sum\limits_{i=0}^{n} A_i y_i + R_n \,,$$ (6.3)

където:
-- $R_n$ е грешката при това приближаване (очевидно числото $R_n$ зависи както от функцията $f$ , така и от стъпката $h$ );
-- $\varphi_i(x) = \dfrac{(x-x_0)\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots(x-x_{n-1})(x-x_{n})} {(x_i-x_0)(x_i-x_1)\dots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots(x_i-x_{n})}$ ;
-- $A_i$ са константи.
Горната формула се нарича квадратурна формула (КФ), $A_i$ - коефициенти на квадратурната формула, а $x_i$ - възли на КФ.

Ще използваме ИПЛ с равноотдалечени възли. Нека

$$q = \dfrac{x-x_0}{h}\,, \quad x=x_0+qh\,, \quad dx= hdq\,.$$

Тогава:

$$\begin{multline*} (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots(x-x_{n-1})(x-x_... ... (i-1)\dots 1 (-1) \dots [-(n-i)] = (-1)^{n-i} h^n i! (n-i)!\,. \end{multline*}$$

Следователно, полиномът на Лагранж за функцията $f$ може да бъде записан във вида

$$L_n(x) = \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}\,\dfrac{q(q-1)\dots(q-n)}{q-i}y_i\,.$$

Като извършим смяна на променливите в интеграла и зместим във (6.3), получаваме

$$\int\limits_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx = h \sum\limits_{i=0}^{n} \left ... ...-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}\,\dfrac{q(q-1)\dots(q-n)}{q-i} \, dq \right ) y_i + R_n\,,$$ (6.4)

където $R_n$ е остатъчния член (или грешката).

Формулата (6.4) се нарича квадратурна формула на Нютон-Котес.

<<6099>>