Мрежови методи за частни диференциални уравнения от II ред

Повечето процеси от физиката, химията, механиката и др., като динамиката на непрекъснатите среди, електричество, магнетизъм, топлопренасяне и др., се описват с частни диференциални уравнения. Ще разгледаме някои мрежови методи за решаване на основните задачи за линейни частни диференциални уравнения (ЧДУ) от II ред. Общият вид на едно линейно ЧДУ от II ред е

$$L(U)= A(x,t) \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+2B(x,t) \frac{\partial^2 U}{\partial x \partial t}+ \ds C(x,t) \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}$$

$$+D(x,t) \frac{\partial U}{\partial x} +E(x,t) \frac{\partial U}{\partial t}+F(x,t)U=f(x,t),$$ (8.1)

където:

-- $U$ неизвестна функция, $U: {\mathbb{G}} \To {\mathbb{R}}$ , $\emptyset \ne {\mathbb{G}} \subset {\mathbb{R}}^2$ и ${\mathbb{G}}$ е област;

-- $A,B, \dots,F,f: {\mathbb{G}} \to {\mathbb{R}}$ коефициенти; $A,B, \dots,F,f\in {\boldsymbol C}({\mathbb{G}})$ .

Дефиниция 8.1   Функцията $\Delta(x,t)=B^2(x,t)-A(x,t)C(x,t), \; (x,t) \in {\mathbb{G}}$ , се нарича дискриминанта на ЧДУ (8.1).
В зависимост от знака на дискриминантата в областта ${\mathbb{G}}$ , ЧДУ се делят на три типа:
1. Ако $\Delta(x,t)<0, \; (x,t) \in {\mathbb{G}}$ , уравнение (8.1) се нарича елиптично в ${\mathbb{G}}$ .
2. Ако $\Delta(x,t)>0, \; (x,t) \in {\mathbb{G}}$ , уравнение (8.1) се нарича хиперболично в ${\mathbb{G}}$ .
3. Ако $\Delta(x,t)=0, \; (x,t) \in {\mathbb{G}}$ , уравнение (8.1) се нарича параболично в ${\mathbb{G}}$ .

Основните уравнения на математическата физика са частни случаи на трите типа ЧДУ.

1. Уравнението на потенциала има вида

$$\Delta U=U_{xx}(x,t)+a^2U_{tt}(x,t)=f(x,t)\,.$$ (8.2)

2. Уравнението на струната има вида

$$U_{tt}(x,t)-a^2U_{xx}(x,t)=f(x,t)\,.$$ (8.3)

3. Уравнението на топлопроводността има вида

$$U_t(x,t)-a^2U_{xx}(x,t)=f(x,t)\,.$$ (8.4)

<<8809>>